Как получить закон смещения вина

Выше было показано (при выводе закона Кирхгофа), что для определения излучательной способности любого тела необходимо знать две величины: поглощательную способность данного тела и способность к излучению у абсолютно черного тела.

Экспериментальное получение спектров черного излучения основано на излучении полости равномерно нагретых тел. Если сделать в стенке полости малое отверстие, то через него будет происходить излучение, тождественное излучению абсолютно черного тела.

Если заменить в уже известном нам уравнении Кирхгофа спектральную поверхностную яркость излучения через объемную спектральную плотность, то для неполяризованного однородного изотропного излучения уравнение будет иметь следующий вид:

где -объемная спектральная плотность излучения абсолютно черного тела, -поверхностная спектральная яркость абсолютно черного тела, с — скорость света.

Объемная интегральная плотность излучения для сплошного спектра, охватывающего все частоты от до связана со спектральной объемной плотностью излучения соотношением:

Экспериментальное изучение спектров абсолютно черного тела показало, что объемная спектральная плотность излучения является функцией температуры и частоты. Если отложить по оси ординат объемную спектральную плотность, а по оси абсцисс — частоту, то для разных температур спектры черного

излучения графически расположатся, как показано на рисунке 31, где энергетический максимум спектра с повышением температуры смещается в сторону больших частот.

Первые теоретические работы по раскрытию вида функции принадлежат Михельсону и Вину. Последний при этом воспользовался, кроме термодинамики, электромагнитной теорией света. Работы Вина показали, что без гипотезы о молекулярном механизме излучения и поглощения, пользуясь только законами термодинамики и электромагнитной теорией света, невозможно раскрыть вид функций

Вину удалось свести функцию объемной спектральной плотности черного излучения к следующему виду:

где частота, абсолютная температура.

Таким образом, он свел функцию двух переменных к функции одной переменной Несмотря на то, что в формуле Вина присутствует неявная функция с ее помощью можно получить ряд количественных соотношений.

I. Из формулы выводится закон Стефана — Больцмана. Так, подставив в (33,3а) объемную спектральную плотность из формулы Вина, получаем:

Если ввести новую переменную то найдем, что

Наконец, обозначив величину, получающуюся при вычислении определенного интеграла, через а, мы получим закон Стефана — Больцмана:

II. Формула Вина позволяет получить закон, называемый «законом смещения Вина», который описывает смещение

энергетических максимумов в спектре черного излучения с изменением температуры. Условие максимума на основании формулы Вина запишется так:

Если сократить в этом уравнении то будем иметь:

Вводя новую переменную получим:

Решая это уравнение, получим для какое-то постоянное значение тогда:

Уравнение и выражает собой закон смещения Вина, по которому отношение частоты, на которую приходится энергетический максимум в спектре черного излучения, к абсолютной температуре является величиной постоянной. Однако этот закон обычно записывают в другом виде, заменяя частоту в (33,3 б) из соотношения Получим:

где постоянная величина.

Таким образом, закон смещения Вина гласит, что длина волны, отвечающая максимальной энергии в спектре черного излучения, обратно пропорциональна абсолютной температуре.

III. Формула Вина позволяет но заданной кривой распределения энергии для какой-нибудь одной температуры вычислить кривую для любой другой температуры.

Пусть дана кривая для температуры Требуется вычислить кривую для температуры Используя условие, по формуле Вина вычисляем:

Следовательно, чтобы получить кривую по заданной кривой, необходимо умножить ординату каждой точки кривой на отношение

Раскрытие вида функции черного излучения, удовлетворяющей экспериментальным данным, принадлежит Планку. При выводе этой формулы Планку пришлось предположить, что энергия микроскопической системы может принимать только определенные дискретные значения. Следовательно, для объяснения механизма излучения и поглощения света оказалось необходимым ввести квантовые представления.

А так как они выходят за рамки термодинамических представлений, вывод формулы Планка мы в настоящей книге рассматривать не будем.

scask.ru

Как получить закон смещения вина

В 1893 году немецкий ученый Вильгельм Вин рассмотрел задачу об адиабатическом сжатии излучения в цилиндрическом сосуде с зеркальными стенками и подвижным зеркальным поршнем. При движении поршня энергия излучения единицы объема (плотность энергии) будет возрастать по двум причинам:

  • за счёт уменьшения объема (общая величина энергии постоянна);
  • за счёт работы, совершаемой поршнем против давления излучения.
  • Однако, в силу эффекта Доплера (увеличение частоты излучения, отраженного от движущегося поршня) движение поршня приводит к изменению частоты излучения. Окончательно Вин получил:

    где и – постоянные, которые Вин не расшифровал.

    Эта формула дает хорошее согласие с опытом в коротковолновой части спектра и не годится для длинноволновой (рис.1.4).

    Выражение (1.4.1) имеет сейчас лишь историческую ценность. Но Вин нашел зависимость ( частота соответствующая максимальному значению абсолютно черного тела). Найдем максимум функции (1.4.1), то есть производную по ν и приравняем к нулю.

    ens.tpu.ru

    Зако́н смеще́ния Ви́на даёт зависимость длины волны, на которой поток излучения энергии чёрного тела достигает своего максимума, от температуры чёрного тела.

    Содержание

    Общий вид закона смещения Вина

    где T — температура, а λmax — длина волны с максимальной интенсивностью. Коэффициент b , называемый постоянной Вина, в системе СИ имеет значение 0,002898 м·К.

    Для частоты света (в герцах) закон смещения Вина имеет вид:

    Для вывода можно использовать выражение закона излучения Планка для абсолютно чёрного тела, записанного для длин волн:

    Чтобы найти экстремумы этой функции в зависимости от длины волны, её следует продифференцировать по и приравнять дифференциал к нулю:

    Из этой формулы сразу можно определить, что производная приближается к нулю, когда или когда , что выполняется при . Однако, оба эти случая дают минимум функции Планка , которая для указанных длин волн достигает своего нуля (см. рисунок вверху). Поэтому анализ следует продолжить лишь с третьим возможным случаем, когда

    Используя замену переменных , данное уравнение можно преобразовать к виду

    Численное решение этого уравнения даёт: [1]

    Таким образом, используя замену переменных и значения постоянных Планка, Больцмана и скорости света, можно определить длину волны, на которой интенсивность излучения абсолютно чёрного тела достигает своего максимума, как

    где температура дана в кельвинах, а — в метрах.

    Согласно закону смещения Вина человеческое тело с температурой 290 K (+17°C) имеет максимум теплового излучения на длине волны 10 μм, что соответствует инфракрасному диапазону спектра.

    Вильгельм Вин впервые вывел этот закон в 1893 году путём применения законов термодинамики к электромагнитному излучению.

    Источники и примечания

    1. Решение уравнения невозможно выразить с помощью элементарных функций. Его точное решение можно найти с помощью W-функции Ламберта, однако в данном случае достаточно воспользоваться приближённым решением.
    • B. H. Soffer and D. K. Lynch, «Some paradoxes, errors, and resolutions concerning the spectral optimization of human vision, » Am. J. Phys. 67 (11), 946—953 1999.
    • M. A. Heald, «Where is the ‘Wien peak’?», Am. J. Phys. 71 (12), 1322—1323 2003.

    Wikimedia Foundation . 2010 .

    Смотреть что такое «Закон смещения Вина» в других словарях:

    закон смещения Вина — Vyno poslinkio dėsnis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Wien’s displacement law vok. Wiensches Verschiebungssatz, m rus. закон смещения Вина, m pranc. loi de déplacement de Wien, f … Fizikos terminų žodynas

    закон смещения Вина — [Wien s displacement law] длина волны (λмах), на которую приходится максимум энергии в спектре равновесного излучения, обратно пропорционально абсолютной температуре, излучающего тела: λмах • Т = b, где b постоянная Вина. Впервые получен немецким … Энциклопедический словарь по металлургии

    закон излучения Вина — [Wien s radiation law] распределения энергии в спектре равновесного излучения в зависимости от абсолютной температуры (T). Открыт немецким физиком В. Вином, который в 1883 г. вывел формулу для общего вида распределения энергии в спектре… … Энциклопедический словарь по металлургии

    ВИНА ЗАКОН СМЕЩЕНИЯ — закон, утверждающий, что длина волны l,макс, на к рую приходится максимум энергии в спектре равновесного излучения, обратно пропорциональна абс. темп ре T излучающего тела: lмаксT=b (b постоянная Вина). В. з. с. является следствием формулы Вина… … Физическая энциклопедия

    ВИНА ЗАКОН СМЕЩЕНИЯ — ВИНА ЗАКОН СМЕЩЕНИЯ: длина волны на которую приходится максимум энергии в спектре равновесного излучения, обратно пропорциональна абсолютной температуре излучающего тела. Выведен в 1893 В. Вином … Большой Энциклопедический словарь

    ВИНА ЗАКОН СМЕЩЕНИЯ — ВИНА ЗАКОН СМЕЩЕНИЯ: длина волны, на которую приходится максимум энергии в спектре равновесного излучения, обратно пропорциональна абсолютной температуре излучающего тела. Выведен в 1893 В. Вином … Энциклопедический словарь

    Вина закон смещения — закон, утверждающий, что длина волны λмакс, на которую приходится максимум энергии в спектре равновесного излучения, обратно пропорциональна абсолютной температуре Т излучающего тела: λмакс·Т = b, где b постоянная, равная 0,2897 см·К. В.… … Большая советская энциклопедия

    ВИНА ЗАКОН СМЕЩЕНИЯ — [по имени нем. физика В. Вина (W. Wien; 1864 1928)] закон теплового излучения, согласно к рому длина волны Лmах, соответствующая максимуму кривой распределения энергии по длинам волн в спектре теплового излучения абсолютно чёрного тела, обратно… … Большой энциклопедический политехнический словарь

    ВИНА ЗАКОН СМЕЩЕНИЯ — длина волны, на к рую приходится максимум энергии в спектре равновесного излучения, обратно пропорциональна абс. темп ре излучающего тела. Выведен в 1893 В. Вином … Естествознание. Энциклопедический словарь

    dic.academic.ru

    (6)

    где b — постоянная Вина , max — длина волны, соответствующая максимальному значению спектральной плотности энергетической светимости

    (7)

    Закон Вина можно сформулировать следующим образом: длина волны, соответствующая максимальному значению спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела, обратно пропорциональна его температуре.

    2.3.3. Закон Рэлея-Джинса

    Для больших длин волн, когда показатель экспоненты в формуле Планка (5) значительно меньше единицы, экспоненту можно разложить в ряд и ограничиться двумя членами разложения:

    (8)

    Теперь, если подставить (8) в (5), получим:

    (9)

    Эта формула, получившая название формулы Рэлея-Джинса, хорошо описывает тепловое излучение абсолютно черного тела на длинах волн, удовлетворяющих условию:

    (10)

    Рэлей и Джинс получили эту формулу до открытия Планка, основываясь на представлении о непрерывном характере испускания электромагнитных волн и на законе о равномерном распределении энергии по степеням свободы.

    Формула Рэлея-Джинса верна для длинных волн и совершенно не применима для коротких.

    2.3.4. Закон Стефана – Больцмана

    В 1879 г. Стефан из анализа экспериментальных результатов, а в 1884г. Больцман из термодинамических представлений получили зависимость энергетической светимости абсолютно черного тела от температуры:

    где постоянная σ=5.67 10 -8 Вт/(м 2 К 4 ) — постоянная Стефана-Больцмана.

    Из выражения (11) можно сформулировать закон Стефана-Больцмана: Энергетическая светимость абсолютно чёрного тела пропорциональна четвёртой степени его термодинамической температуры.

    Формулу (11) можно получить, используя формулу Планка (5). Для этого необходимо в формулу (1) подставить выражение (5) и провести интегрирование по всем длинам волн (от нуля до бесконечности):

    (12)

    Введем новую переменную:

    (13)

    Подставив (13) в (12), получим:

    (14)

    Если учесть, что значение несобственного интеграла в (14) равно π 4 /15, получим:

    (15)

    Из сравнения (11) с (15) следует, что постоянная Стефана-Больцмана равна:

    (16)

    3. Оптическая пирометрия

    Оптической пирометрией называется совокупность методов измерения температуры тел, основанных на законах теплового излучения. Приборы, применяемые для этого, называются пирометрами.

    Эти методы очень удобны для измерения температур различных объектов, где сложно или вообще невозможно применить традиционные контактные датчики. Это относится в первую очередь к измерению высоких температур.

    В оптической пирометрии различают следующие температуры тела: радиационную, цветовую, яркостную.

    studfiles.net

    Закон смещения Вина

    Зако́н смеще́ния Ви́на устанавливает зависимость длины волны, на которой поток излучения энергии чёрного тела достигает своего максимума, от температуры чёрного тела.

    где \lambda_ — длина волны излучения с максимальной интенсивностью, а T — температура. Коэффициент b , называемый постоянной Вина, в Международной системе единиц (СИ) имеет значение 0,002898 м·К.

    Для частоты света \nu (в герцах) закон смещения Вина имеет вид:

    \nu_\max = < \alpha \over h>kT \approx (5,879 \times 10^ <10>\ \mathrm) \cdot T,

    Вывод закона

    Чтобы найти экстремумы этой функции в зависимости от длины волны, её следует продифференцировать по \lambda и приравнять производную нулю:

    Из этой формулы сразу можно определить, что производная приближается к нулю, когда \lambda\rightarrow\infty или когда e^\rightarrow\infty , что выполняется при \lambda\rightarrow0 . Однако, оба эти случая дают минимум функции Планка B(\lambda) , которая для указанных длин волн достигает своего нуля (см. рисунок вверху). Поэтому анализ следует продолжить лишь с третьим возможным случаем, когда

    Используя замену переменных x= , данное уравнение можно преобразовать к виду

    Численное решение этого уравнения даёт: Решение уравнения \over e^ — 1> = n невозможно выразить с помощью элементарных функций. Его точное решение можно найти с помощью W-функции Ламберта, однако в данном случае достаточно воспользоваться приближённым решением.

    где температура дана в кельвинах, а \lambda_ <\max>— в метрах.

    Согласно закону смещения Вина чёрное тело с температурой человеческого тела (

    310 K) имеет максимум теплового излучения на длине волны около 10 мкм, что соответствует инфракрасному диапазону спектра.

    Реликтовое излучение имеет эффективную температуру 2,7 K и достигает своего максимума на длине волны 1 мм. Соответственно эта длина волны принадлежит уже радиодиапазону.

    ensiklopedya.ru

    Еще по теме:

    • Возражение на иск банка образец Как составить возражение на исковое заявление о взыскании задолженности по кредиту ​Обращение банка в суд по поводу взыскания задолженности по кредиту предусматривает право заемщика-ответчика представить истцу и суду свои возражения на исковые требования. Наравне с подачей встречного иска возражение является одним из […]
    • Земли сельхозугодий в собственности Собственников земельных участков из сельхозземель могут обязать раскрывать информацию о бенефициарных владельцах В Госдуму внесен законопроект, направленный на установление контроля за собственниками земельных участков из земель сельскохозяйственного назначения. Авторы проекта – член Совета Федерации Владимир […]
    • Изменения в опеке в 2014 году С 1 декабря 2016 года близким родственникам станет проще установить опеку и попечительство в отношении совершеннолетних подопечных Правительство РФ внесло изменения в постановление Правительства Российской Федерации от 17 ноября 2010 г. № 927 "Об отдельных вопросах осуществления опеки и попечительства в отношении […]
    • Правило на умножение смешанных чисел Умножение смешанных чисел: правила, примеры, решения. В этой статье мы разберем умножение смешанных чисел. Сначала озвучим правило умножения смешанных чисел и рассмотрим применение этого правила при решении примеров. Дальше поговорим об умножении смешанного числа и натурального числа. Наконец, научимся выполнять […]
    • Бланк заявления загранпаспорта на 10 лет Заявление на загранпаспорт ребенку Бланк «Заявление на загранпаспорт нового образца» для несовершеннолетних, не достигших 18-лет Скачать бланк анкеты «Заявление на биометрический загранпаспорт нового образца» для несовершеннолетних, не достигших 18-лет. Важно. Все поля анкеты заявления на загранпаспорт нового […]
    • Вредные условия труда стаж Льготная пенсия по вредности в 2018 году Пенсионный возраст в России наступает для женщин в 55 лет, а для мужчин в 60. Однако при определенных условиях возможен выход на пенсию в досрочном порядке. В частности, тогда, когда человек был занят на опасном и вредном производстве. Общая информация Граждане, которым […]
Закладка Постоянная ссылка.

Комментарии запрещены.