Закон кирхгофа ветвь

Закон кирхгофа ветвь

, где p+q=n.

Очевидно, что обе формулировки равноценны и выбор формы записи уравнений может быть произвольным. Существенным является только соглашение о знаках токов для данной цепи, т.е. в пределах описания одной электрической цепи нельзя для разных узлов использовать разные знаки для токов направленных к узлам или от узлов .

При составлении уравнений по первому закону Кирхгофа направления токов в ветвях электрической цепи выбирают обычно произвольно. При этом необязательно даже стремиться, чтобы во всех узлах цепи присутствовали токи разных направлений. Может получиться так, что в каком-либо узле все токи сходящихся в нем ветвей будут направлены к узлу или от узла, нарушая тем самым принцип непрерывности. В этом случае в процессе определения токов один или несколько из них окажутся отрицательными, что будет свидетельствовать о протекании их в направлении противоположном принятому.

Второй закон Кирхгофа связан с понятием потенциала электрического поля, как работы, совершаемой при перемещении единичного точечного заряда в пространстве. Если такое перемещение совершается по замкнутому контуру , то суммарная работа при возвращении в исходную точку будет равна нулю. В противном случае путем обхода контура можно было бы получать положительную энергию, нарушая закон ее сохранения.

Каждый узел или точка электрической цепи обладает собственным потенциалом и, перемещаясь вдоль замкнутого контура, мы совершаем работу, которая при возврате в исходную точку будет равна нулю. Это свойство потенциального электрического поля и описывает второй закон Кирхгофа в применении к электрической цепи.

Он также как и первый закон формулируется в двух вариантах, связанных с тем, что падение напряжения на источнике ЭДС численно равно электродвижущей силе, но имеет противоположный знак. Поэтому, если какая либо ветвь содержит сопротивление и источник ЭДС, направление которой согласно с направлением тока, то при обходе контура эти два слагаемых падения напряжения будут учитываться с разными знаками. Если же падение напряжения на источнике ЭДС учесть в другой части уравнения, то его знак будет соответствовать знаку напряжения на сопротивлении.

Сформулируем оба варианта второго закона Кирхгофа , т.к. они принципиально равноценны:

  • алгебраическая сумма падений напряжения вдоль любого замкнутого контура электрической цепи равна нулю
  • Примечание: знак + выбирается перед падением напряжения на резисторе, если направление протекания тока через него и направление обхода контура совпадают; для падений напряжения на источниках ЭДС знак + выбирается, если направление обхода контура и направление действия ЭДС встречны независимо от направления протекания тока;

    • алгебраическая сумма ЭДС вдоль любого замкнутого контура равна алгебраической сумме падений напряжения на резисторах в этом контуре
    • , где p+q=n

      Примечание: знак + для ЭДС выбирается в том случае, если направление ее действия совпадает с направлением обхода контура, а для напряжений на резисторах знак + выбирается, если в них совпадают направление протекания тока и направление обхода.

      Здесь также как и в первом законе оба варианта корректны, но на практике удобнее использовать второй вариант, т.к. в нем проще определить знаки слагаемых.

      С помощью законов Кирхгофа для любой электрической цепи можно составить независимую систему уравнений и определить любые неизвестные параметры, если число их не превышает число уравнений. Для выполнения условий независимости эти уравнения должны составляться по определенным правилам.

      Общее число уравнений N в системе равно числу ветвей N в минус число ветвей, содержащих источники тока N J , т.е. N = N в — NJ .

      Наиболее простыми по выражениям являются уравнения по первому закону Кирхгофа, однако их число N 1 не может быть больше числа узлов Nу минус один.
      Недостающие уравнения составляются по второму закону Кирхгофа, т.е.

      Сформулируем алгоритм составления системы уравнений по законам Кирхгофа :

      1. определить число узлов и ветвей цепи Nу и N в ;
      2. определить число уравнений по первому и второму законам N 1 и N 2 . ;
      3. для всех ветвей (кроме ветвей с источниками тока) произвольно задать
        направления протекания токов;
      4. для всех узлов, кроме одного, выбранного произвольно, составить уравнения по первому закону Кирхгофа;
      5. произвольно выбрать на схеме электрической цепи замкнутые контуры таким образом, чтобы они отличались друг от друга по крайней мере одной ветвью и чтобы все ветви, кроме ветвей с источниками тока, входили по крайней мере в один контур;
      6. произвольно выбрать для каждого контура направление обхода и составить уравнения по второму закону Кирхгофа, включая в правую часть уравнения ЭДС действующие в контуре, а в левую падения напряжения на резисторах. Примечание: Знак ЭДС выбирают положительным, если направление ее действия совпадает с направлением обхода независимо от направления тока; а знак падения напряжения на резисторе принимают положительным, если направление тока в нем совпадает с направлением обхода.

      Рассмотрим этот алгоритм на примере рис 2.

      Здесь светлыми стрелками обозначены выбранные произвольно направления токов в ветвях цепи. Ток в ветви с R 4 не выбирается произвольно, т.к. в этой ветви он определяется действием источником тока.

      Число ветвей цепи равно 5, а т.к. одна из них содержит источник тока, то общее число уравнений Кирхгофа равно четырем.

      Число узлов цепи равно трем ( a, b и c ), поэтому число уравнений по первому закону Кирхгофа равно двум и их можно составлять для любой пары из этих трех узлов. Пусть это будут узлы a и b , тогда

      de.ifmo.ru

      Законы Кирхгофа — формулы и примеры использования

      Законы Кирхгофа устанавливают соотношения между токами и напряжениями в разветвленных электрических цепях произвольного типа. Законы Кирхгофа имеют особое значение в электротехнике из-за своей универсальности, так как пригодны для решения любых электротехнических задач. Законы Кирхгофа справедливы для линейных и нелинейных цепей при постоянных и переменных напряжениях и токах.

      Первый закон Кирхгофа вытекает из закона сохранения заряда. Он состоит в том, что алгебраическая сумма токов, сходящихся в любом узле, равна нулю.

      где – число токов, сходящихся в данном узле. Например, для узла электрической цепи (рис. 1) уравнение по первому закону Кирхгофа можно записать в виде I1 — I2 + I3 — I4 + I5 = 0

      В этом уравнении токи, направленные к узлу, приняты положительными.

      Физически первый закон Кирхгофа – это закон непрерывности электрического тока.

      Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма падений напряжений на отдельных участках замкнутого контура, произвольно выделенного в сложной разветвленной цепи, равна алгебраической сумме ЭДС в этом контуре

      где k – число источников ЭДС; m – число ветвей в замкнутом контуре; Ii , Ri – ток и сопротивление i -й ветви.

      Так, для замкнутого контура схемы (рис. 2 ) Е1 — Е2 + Е3 = I1R1 — I2R2 + I3R3 — I4R4

      Замечание о знаках полученного уравнения:

      1) ЭДС положительна, если ее направление совпадает с направлением произвольно выбранного обхода контура;

      2) падение напряжения на резисторе положительно, если направление тока в нем совпадает с направлением обхода.

      Физически второй закон Кирхгофа характеризует равновесие напряжений в любом контуре цепи.

      Расчет разветвленной электрической цепи с помощью законов Кирхгофа

      Метод законов Кирхгофа заключается в решении системы уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа.

      Метод заключается в составлении уравнений по первому и второму законам Кирхгофа для узлов и контуров электрической цепи и решении этих уравнений с целью определения неизвестных токов в ветвях и по ним – напряжений. Поэтому число неизвестных равно числу ветвей b , следовательно, столько же независимых уравнений необходимо составить по первому и второму законам Кирхгофа.

      Число уравнений, которые можно составить на основании первого закона, равно числу узлов цепи, причем только ( y – 1) уравнений являются независимыми друг от друга.

      Независимость уравнений обеспечивается выбором узлов. Узлы обычно выбирают так, чтобы каждый последующий узел отличался от смежных узлов хотя бы одной ветвью. Остальные уравнения составляются по второму закону Кирхгофа для независимых контуров, т.е. число уравнений b — (y — 1) = b — y +1 .

      Контур называется независимым, если он содержит хотя бы одну ветвь, не входящую в другие контуры.

      Составим систему уравнений Кирхгофа для электрической цепи (рис. 3 ). Схема содержит четыре узла и шесть ветвей.

      Поэтому по первому закону Кирхгофа составим y — 1 = 4 — 1 = 3 уравнения, а по второму b — y + 1 = 6 — 4 + 1 = 3 , также три уравнения.

      Произвольно выберем положительные направления токов во всех ветвях (рис. 4 ). Направление обхода контуров выбираем по часовой стрелке.

      Составляем необходимое число уравнений по первому и второму законам Кирхгофа

      Полученная система уравнений решается относительно токов. Если при расчете ток в ветви получился с минусом, то его направление противоположно принятому направлению.

      Потенциальная диаграмма – это графическое изображение второго закона Кирхгофа, которая применяется для проверки правильности расчетов в линейных резистивных цепях. Потенциальная диаграмма строится для контура без источников тока, причем потенциалы точек начала и конца диаграммы должны получиться одинаковыми.

      Рассмотрим контур abcda схемы, изображенной на рис. 4. В ветке ab между резистором R1 и ЭДС E1 обозначим дополнительную точку k.

      Рис. 4. Контур для построения потенциальной диаграммы

      Потенциал любого узла принимаем равным нулю (например, ?а= 0), выбираем обход контура и определяем потенциалы точек контура: ?а = 0, ?к = ?а — I1R1 , ? b = ? к + Е1, ?с = ? b — I2R2 , ? d = ?c — Е2, ? a = ?d + I3R3 = 0

      При построении потенциальной диаграммы необходимо учитывать, что сопротивление ЭДС равно нулю (рис. 5 ).

      Рис. 5. Потенциальная диаграмма

      Законы Кирхгофа в комплексной форме

      Для цепей синусоидального тока законы Кирхгофа формулируются так же, как и для цепей постоянного тока, но только для комплексных значений токов и напряжений.

      Первый закон Кирхгофа : «алгебраическая сумма комплексов тока в узле электрической цепи равна нулю»

      Второй закон Кирхгофа : «в любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма комплексных ЭДС равна алгебраической сумме комплексных напряжений на всех пассивных элементах этого контура».

      electricalschool.info

      § 2.8. Составление уравнений для расчета токов в схемах с помощью законов Кирхгофа

      § 2.8. Составление уравнений для расчета токов в схемах с помощью законов Кирхгофа. Законы Кирхгофа используют для нахождения токов в ветвях схемы. Обозначим число всех ветвей схемы в, число ветвей, содержащих источники тока, — вит и число узлов у. В каждой ветви схемы течет свой ток. Так как токи в ветвях с источниками тока известны, то число неизвестных токов равняется в — вит. Перед тем как составить уравнения, необходимо произвольно выбрать: а) положительные направления токов в ветвях и обозначить их на схеме; б) положительные направления обхода контуров для составления уравнений по второму закону Кирхгофа.

      С целью единообразия рекомендуется для всех контуров положительные направления обхода выбирать одинаковыми, например по часовой стрелке.

      Чтобы получить линейно независимые уравнения, по первому закону Кирхгофа составляют уравнения, число которых равно числу узлов без единицы, т. е. у — 1.

      Уравнение для последнего у-го узла не составляют, так как оно совпало бы с уравнением, полученным при суммировании уже составленных уравнений для у — 1 узлов, поскольку в эту сумму входили бы дважды и с противоположными знаками токи ветвей, не подходящих к у-му узлу, а токи ветвей, подходящих к у-му узлу, входили бы в эту сумму со знаками, противоположными тем, с какими они вошли бы в уравнение для у-го узла.

      По второму закону Кирхгофа составляют уравнения, число которых равно числу ветвей без источников тока (в — вит), за вычетом уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, т. е. (в — вит) — (у — 1) = в — вит — у + 1.

      Составляя уравнения по второму закону Кирхгофа, следует охватить все ветви схемы, исключая лишь ветви с источниками тока.

      Если попытаться составить уравнение по второму закону Кирхгофа в форме (2.4) для контура, в который входит источник тока, то в него вошли бы бесконечно большие слагаемые и оно не имело бы смысла.

      При записи линейно независимых уравнений по второму закону Кирхгофа стремятся, чтобы в каждый новый контур, для которого составляют уравнение, входила хотя бы одна новая ветвь, не вошедшая в предыдущие контуры, для которых уже записаны уравнения по второму закону Кирхгофа. Такие контуры условимся называть независимыми.

      Требование, чтобы в каждый новый контур входила хотя бы одна новая ветвь, является достаточным, но не необходимым условием, а потому его не всегда выполняют. В таких случаях часть уравнений по второму закону Кирхгофа составляют для контуров, все ветви которых уже вошли в предыдущие контуры.

      Клещи электроизмерительные

      Пример 10. Найти токи в ветвях схемы рис. 2.9, в которой Е1 = 80 В, Е2 = 64 В, R1 = 6 Ом, R2 = 4 Ом, R3 = 3 Ом, R4 = 1 Ом.

      Решение. Произвольно выбираем положительные направления тока в ветвях. В схеме рис. 2.9, в = 3; вит = 0; у = 2.

      Следовательно, по первому закону Кирхгофа, можно составить только одно уравнение:

      Нетрудно убедиться, что для второго узла получили бы аналогичное уравнение. По второму закону Кирхгофа составим в — вит — (у — 1) = 3 — 0 — (2 — 1) = 2 уравнения. Положительные направления обхода контуров выбираем по часовой стрелке.

      Знак плюс перед I1R1 взят потому, что направление тока совпадает с направлением обхода контура; знак минус перед I2R2 — потому, что направление I2 встречно обходу контура.

      Совместное решение уравнений (а) — (в)дает I1 = 14 А, I2 = — 15 А, I3 = — 1 А.

      Поскольку положительные направления токов выбирают произвольно, в результате расчета какой-либо один или несколько токов могут оказаться отрицательными. В рассмотренном примере отрицательными оказались токи I2 и I3, что следует понимать так: направления токов I2 и I3 не совпадают с направлениями, принятыми для них на рис. 2.9 за положительные, т. е. в действительности токи I2 и I3 проходят в обратном направлении.

      Для выбора контура таким образом, чтобы в каждый из них входило по одной ветви, не входящей в остальные контуры, используют понятие дерева. Поддеревом понимают совокупность ветвей, касающихся всех узлов, но не образующих ни одного замкнутого контура. Из одной и той же схемы можно образовать несколько деревьев. При составлении системы уравнений по второму закону Кирхгофа можно взять любое дерево из возможных.

      Одно из возможных деревьев схемы рис. 2.10, а изображено на рис. 2.10, б, а на рис. 2.10, в — четыре независимых контура, в каждый из которых входит по одной пунктиром показанной ветви, не входящей в остальные. Более подробно о топологии электрических схем см. § 2.31 — 2.35 и А.5 — А. 10.

      www.sonel.ru

      Законы Кирхгофа в матричной форме

      Законы Кирхгофа в матричной форме

      Для записи законов Кирхгофа в матричной форме необходимо составить топологические матрицы схемы.

      Матрица соединений, или узловая А,- это таблица коэффициентов независимых уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа для У — 1 узлов. Строки (i) соответствуют узлам (их число равно У- 1), столбцы (j) — ветвям (их число равно В). Элемент матрицы aij = + 1, если ветвь j графа соединена с узлом i и направлена от узла i (положительное направление тока в ветви j выбрано от узла i). Элемент матрицы aij = — 1, если ветвь j графа соединена с узлом i и направлена к узлу i. Элемент матрицы аij = 0, если ветвь j не присоединена к узлу i.

      Например, для схемы и графа по рис. 1.14 с У= 4 узлами и В = 6 ветвями для первых трех узлов

      что соответствует первым трем уравнениям ( 1.21а).

      Так как -матрица А определяет, какие ветви присоединены к каждому узлу и как направлены токи в этих ветвях, то произведение матрицы соединений на матрицу-столбец токов ветвей I дает совокупность левых частей уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, и, следовательно, равно нулю:

      — это первый закон Кирхгофа в матричной форме. Для схемы и графа по рис. 1.14

      и после выполнения умножения матриц получаем первые три уравнения (1.21а).

      Под матрицей соединений иногда понимают матрицу А, записанную для всех узлов схемы.

      Матрица сечений Q — это таблица коэффициентов, составленных по первому закону Кирхгофа для сечений. Строки i матрицы соответствуют сечениям (их число равно У — 1), столбцы j — ветвям (их число равно В). Элемент матрицы qij = +1, если ветвь j содержится в сечении i и направлена согласно с направлением сечения. Элемент матрицы qij = -1, если ветвь j содержится в сечении i и направлена противоположно направлению сечения. Элемент матрицы qij = 0, если ветвь j не содержится в сечении i. Для главных сечений составляется матрица главных сечений.

      Например, для графа рис. 1.14, д при показанных трех главных сечениях

      Дополнительно по теме

      В матричной форме первый закон Кирхгофа можно записать и с матрицей сечений

      После умножения матрицы Q на матрицу-столбец токов I получаются первое и третье (с обратным знаком) уравнения (1.21а) и уравнение (1.216), т. е. независимая система уравнений по первому закону Кирхгофа.

      Матрица контуров В — это таблица коэффициентов независимых уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа для К = В — (У- 1) независимых контуров. Строки к соответствуют контурам (их число равно К), столбцы j — ветвям (их число равно В).

      Элемент матрицы bkj =+1, если ветвь j входит в состав контура k и ее направление совпадает с направлением обхода контура. Элемент матрицы bkJ,= -1, если ветвь j входит в состав контура k и ее направление противоположно направлению обхода контура. Элемент матрицы bkj = 0, если ветвь j не входит в состав контура k.

      Матрица В, составленная для главных контуров, приводит непосредственно к независимой системе уравнений по второму закону Кирхгофа. Например, для графа рис. 1.14, д с контурами, состоящими из ветвей 2-4-3 (а), 5-6-4 (б) и 1-6-3 (в) матрица главных контуров при их обходе по направлению движения часовой стрелки

      Умножив матрицу В на матрицу-столбец напряжений ветвей, получим матричное уравнение по второму закону Кирхгофа в формулировке (1.20а)

      так как каждая строка матрицы В определяет, какие ветви входят в соответствующий контур и с какими знаками должны быть записаны напряжения ветвей.

      Для схемы по рис. 1.14, а и ее графа по рис. 1.14, в после умножения на матрицу-столбец напряжений ветвей

      получим систему трех независимых уравнений вида (1.20а):

      Эта система с учетом равенства и соотношений (1.22а) совпадает с ранее полученной системой (1.23), (1.246), (1.24а), т. е. с системой вида (1.206).

      Для любой планарной схемы, т. е. схемы, которую можно изобразить на листе без пересекающихся ветвей и проводов, в качестве независимых контуров можно выбирать элементарные контуры-ячейки. Например, для схемы рис. 1.14, а это ячейки I, II, III. Если выбрать направление обхода каждой ячейки по направлению движения стрелки часов, то

      После умножения на матрицу-столбец напряжений ветвей U получим другую независимую систему уравнений по второму закону Кирхгофа в форме (1.20 а):

      которая после подстановки соотношений (1.22а) приводится к виду (1.206).

      Если схема цепи кроме источников ЭДС, как на рис. 1.14, а (и далее рис. 1.20-1.22), содержит и источники тока, то для записи матричных уравнений (1.27) можно рекомендовать преобразование источников тока в источники ЭДС (см. рис. 1.23) или введение понятия обобщенной ветви (см. рис. 1.25).

      Смотри ещё по теме Электрические цепи постоянного тока

      Основные законы и методы расчета электрических цепей постоянного тока

      Основные свойства электрических цепей постоянного тока

      www.ess-ltd.ru

      ЗАКОНЫ КИРХГОФА

      Узел — это точка, в которой сходится не меньше трех токов. Ветвь — это участок цепи между двумя узлами, по которому течёт один и тот же ток. Контур — это любой замкнутый путь в схеме.

      1. Первый закон Кирхгофа.

      Для любого узла электрической цепи сумма токов, приходящих к узлу, равна сумме токов, уходящих от узла.

      Для любого узла электрической цепи алгебраическая сумма токов равна 0

      — первый закон Кирхгофа в общем виде

      Ток, который приходит к узлу, входит в уравнение со знаком (+), а который отходит — со знаком (-).

      2. Второй закон Кирхгофа.

      Для любого замкнутого контура алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме падений напряжений на участках этого контура.

      — второй закон Кирхгофа в общем виде

      — выбираем произвольное напряжение тока в ветви;

      — записываем n-1 уравнение по первому закону Кирхгофа, где n — количество узлов

      — выбираем произвольное направление обхода контура;

      — если ЭДС и направление обхода совпадает, то ЭДС входит в уравнение со знаком (+), если нет, то со знаком (-);

      — если ток в ветви и направление обхода совпадает, то падение напряжения входит в уравнение со знаком (+), если нет, то со знаком (-);

      — решаем полученную систему уравнений и определяем токи;

      — если ток получится со знаком (-), то его направление противоположно выбранному:

      Составляем уравнения по законам Кирхгофа для данной схемы.

      Пример решения задачи

      Найти: E -? ? I к.з.-? ? I -? ? ? U0 -?

      10 А

      bourabai.ru

      Еще по теме:

      • Шиманский шалва леванович судимость «Здоровье» (архив) Стоматология по социальным показаниям Сейчас у людей старшего поколения на душе неспокойно; мы решили присоединиться к ним и разделить их волнение. Но не с политической точки зрения, а с человеческой. У нас в гостях - врач-стоматолог (а мы все прекрасно знаем, что стоматология - самое дорогое […]
      • Правда выше закона справедливость выше правды Правда, выше любого закона! А справедливость выше правды! Выше справедливости милосердие! А выше милосердия Божественная Любовь. ТО ЧТО БЫЛО СОКРЫТО - ТЕПЕРЬ СТАЛО ЯСНО! Правда, выше любого закона! А справедливость выше правды! Выше справедливости милосердие! А выше милосердия Божественная Любовь. = = = = = = = […]
      • Проницаемость пород коллекторов Проницаемость коллекторов Проницаемость пористой среды – это способность пропускать жидкость или газ при перепаде давления. Проницаемость горных пород в случае линейной фильтрации определяется по закону Дарси. Согласно которому объемный расход жидкости проходящее сквозь породу при ламинарном движении прямо […]
      • Внеурочная программа правила Методические советы по разработке и оформлению рабочих программ курсов внеурочной деятельности Дата публикации: 06.08.2015 2015-08-06 Статья просмотрена: 7377 раз Библиографическое описание: Буйлова Л. Н. Методические советы по разработке и оформлению рабочих программ курсов внеурочной деятельности // Молодой […]
      • Закон дистрибутивности для конъюнкции Некоторые формулы и законы логики высказываний a & b == b & a - коммутативность конъюнкции a v b == b v a - коммутативность дизъюнкции a & (b & c) == (a & b) & c - ассоциативность конъюнкции a v (b v c) == (a v b) v c - ассоциативность дизъюнкции a & (b v c) == (a & b) v (a & c) - дистрибутивность […]
      • Коллектор научных библиотек Коллектор научных библиотек 8-я Международная конференция «Библиотеки и ассоциации в меняющемся мире: новые технологии и новые формы сотрудничества» – «Крым–2001» Естигнеева Г.А. ГПНТБ России Формирование и сохранность фондов. Взаимодействие субъектов книжного рынка с библиотеками. Обзор работы родственных секций В […]
    Закладка Постоянная ссылка.

    Комментарии запрещены.